啮合原理·有关啮合定理

齿轮基本啮合定理(齿轮基本啮合定律)
见“威利斯定理”。该名称和“齿轮基本啮合定律”一名，多在国内教科书中应用。

威利斯定理
按给定的传动比变化规律，传递平行轴之间运动的两齿廓（图4-60中a-a，b-b），其接触点处的公法线n-n，通过瞬时回转中心(节点)P，称为威利斯(willis)定理。亦可叙述为：按照给定运动规律，传递平行轴之间运动的共轭齿廓，在任一时刻t，啮合点处的公法线将齿轮副的连心线分成两段，这两段长度之比与其角速度成反比，即。该定理亦称齿轮基本啮合定理，或齿轮基本啮合定律(图4-60)。

博比利厄作图法
根据欧拉-萨瓦里定理，作图求齿廓曲率半径ρ₁、ρ₂ 大小关系的方法称博比利厄(Bobillier)作图法。对于i₁₂=常数的齿轮副，可利用该方法求齿廓曲率半径，旋轮线等。作图时应注意：当节点P在o₁、o₂同侧时，属于内齿轮副，这时齿廓曲率中心也在P点的同一侧，齿条副r₁′=∞,o₂P 垂直齿条瞬心线(直线)，这时若齿廓曲率中心在P点同侧，为凸凹齿廓共轭；若在异侧，则为凸凸齿廓共轭；ρ=∞时为直线齿廓。渐开线齿轮副的博比利厄作图法，见“欧拉—萨瓦里定理”的图4-61 b，摆线齿轮副见图4-61a，内齿轮副见图4-61 b，凸凸啮合齿条副见图4-61 c，凸凹啮合齿条副见图4-6ld。
注意：图4-61中虚线和公法线的交点为所求得的点。

欧拉一萨瓦里定理
在时刻t，共轭齿轮瞬心线曲率中心o₁、o₂与其在啮合点处齿廓曲率中心N₁、N₂的连线 o₁N₁、o₂N₂，和过瞬心线切点(节点)P且垂直于N₁N₂的直线PD 相交于一点D(图4-62a)，此特性称为欧拉一萨瓦里(Euler—Savary)定理。在给定条件下，可利用此定理求得瞬心线曲率中心、齿廓曲率中心、节点等。渐开线齿轮副的交点D在无穷远处(图4-62b)。

欧拉一萨瓦里方程式
齿轮副在瞬时啮合时，表明瞬心线曲率半径、齿廓在啮合点处的曲率半径、齿廓啮合位置三者之间关系的方程式。如图4-63所示，令o₁P=r₁′，o₂P=r₂′、N₁M=ρ₁、N₂M=ρ₂、MP=x，这时欧拉—萨瓦里方程式可写成：

瞬心线内切时，凹形瞬心线r′取负值，凹形齿廓ρ取负值。

卡姆士定理
设三个齿轮的瞬心线分别为I、Ⅱ、Ⅲ，当瞬心线Ⅲ在Ⅰ上纯滚动时，齿面∑⁽³⁾包络出齿面∑⁽¹⁾；则齿面∑⁽³⁾和齿面∑⁽¹⁾为共轭齿面；当瞬心线Ⅲ在Ⅱ上纯滚动时，齿面∑⁽³⁾包络出齿面∑⁽²⁾，则齿面∑⁽³⁾和齿面∑⁽²⁾ 亦为共轭齿面；这时齿面∑⁽¹⁾和齿面∑⁽²⁾也必然是共轭齿面，即卡姆士(Camus)定理。它是用间接展成法加工轮齿齿廓的理论基础。

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