啮合原理·曲线与曲面

圆的渐开线(渐开线)
在平面上，一条动直线(发生线)沿一个固定圆(基圆)作纯滚动时，该动直线上每一点都形成一条平面轨迹线，这些轨迹线都叫做圆的渐开线，简称渐开线(图4-34 a)。渐开线有如下特点：基圆以内没有渐开线；图a中 ；渐开线上各点处的曲率中心都落在基圆上，即基圆是渐开线的渐屈线；渐开线各点处的曲率半径等于p_i=r_isina_i=r_btga_i（图4-34 b）；渐开线各点处的法线都和基圆相切，其切点即该点的渐开线曲率中心；同一基圆上的同向渐开线是等距曲线，不同方向的渐开线也是等距曲线；渐开线上各点处的压力角a_i是变化的，压力角和该点处径矢长的关系是：r_b=r_icosa_i，a_b=0；渐开线的形状仅受基圆大小的影响(图4-34 c)；令渐开线在任意点处的展角为θ_i，则θ_i=tga_i-a_i=inva_i，这里称inva_i为渐开线函数。
当取一段渐开线作为齿轮轮齿侧面齿廓时，这个齿轮称渐开线齿轮。

伸渐开线
在平面上，一条动直线(发生线)，沿一固定圆(基圆)作纯滚动时，与圆心同居于动直线一侧，并与动直线固连在一起的点M，在平面上的轨迹线，称延伸渐开线(图4-35)。由图示h=r_b时延伸渐开线蜕化成阿基米德螺线；h=0时即圆的渐开线。

缩短渐开线
在平面上，一条动直线(发生线)沿一个固定圆作纯滚动时，与圆心分别居于动直线各一侧(不同侧)并与动直线固连在一起的点M在平面上的轨迹线，称缩短渐开线。由图4-36知当h=0时即圆的渐开线。

渐开线函数表
在圆的渐开线上，各点处的展角θ_i是该点处压力角a_i的函数，即θ_i=tga_i-a_i=inva_i(弧度)称渐开线函数。用渐开线函数制订的表格称渐开线函数表。该表是设计渐开线齿轮最常用的表格。

渐开线泛方程
圆的渐开线、延伸渐开线、缩短渐开线的通用数学方程式，称渐开线泛方程。若用极坐标可表示为：

式中，φi=θi+ai，“i”表示任意点，“-”用于延伸渐开线，“+”用于缩短渐开线。当h=0时为渐开线，rb=h时为阿基米德螺线。(参考图4-34 b、图4-35、图4-36)

渐开线直角坐标方程式
渐开线直角坐标方程式，在齿轮中有较多用途。如图4-37所示

式中，φ_i=θ_i+a_i=inva_i+a_i

渐开面
动平面沿固定圆柱面(基圆柱面)作纯滚动时，该动面上，一条与圆柱母线相重合的直线，所形成的轨迹面称圆柱渐开面，简称渐开面(图4-38)。

渐开螺旋面
动平面沿一个固定圆柱面(基圆柱面)作纯滚动时，该动平面上，一条与圆柱面母线相交成β_b角的直线所形成的轨迹面(图4-39)，称圆柱渐开螺旋面，简称渐开螺旋面。其端面廓线为圆的渐开线，同样，当其端平面内的圆的渐开线，沿基圆柱面作螺旋运动时，其轨迹面亦为渐开螺旋面。

球面渐开线
一个平面(发生面)沿着一个固定圆锥面(基锥面)作纯滚动时，该平面上任意点的轨迹线，都位在一个固定的球面上，这个球面上的轨迹线，称球面渐开线。

球面渐开螺旋面
一个动平面(发生面)，沿着一个固定圆锥面(基锥面)作纯滚动时，该平面上与固定圆锥的轴线相交，并呈角度β_b的直线所形成的轨迹面，称球面渐开螺旋面(图4-40)。

阿基米德螺线
动点沿一条直线作等速移动，同时直线又绕与其相交的轴线作等角速度转动，此时动点的轨迹线称阿基米德螺线(图4-41 a)。阿基米德螺线又是延伸渐开线的特例，即h=r_b时的延伸渐开线(图4-41 b)。圆柱端面内的阿基米德螺线沿圆柱面作螺旋运动，形成阿基米德螺旋面，即阿基米德圆柱锅杆的齿面。

阿基米德螺旋面
动直线以恒定的角度与一条固定的直线(轴线)相交，并沿此轴线方向作等速移动时，又绕此轴线作等角速度的旋转运动，此动直线在固定空间内的运动轨迹曲面称阿基米德螺旋面。如阿基米德蜗杆的齿面就是阿基米德螺旋面。另外一条动阿基米德螺线，绕垂直所在平面的固定直线(轴线)作螺旋运动，则动阿基米德螺线的轨迹面亦是阿基米德螺旋面。

摆线
在平面上，一个动圆(发生圆)沿一条固定线(基线)作纯滚动，这时固定在动圆径向线 上的点M的轨迹线称广义摆线。令 =h，动圆半径为r，则：r=h时M点的轨迹线称摆线(图4-42 a)；h＜r时M点的轨迹线称短幅摆线(图4-42 b)； h＞r时M点的轨迹线称长幅摆线(图4-42 c)。广义摆线方程式为：

外摆线
在平面上，一个动圆(发生圆)，沿着一个固定圆(基圆)的外侧，作外切或内切的纯滚动时，动圆上任意点的轨迹线，称外摆线(图4-43)。

长幅摆线
见“摆线”。

长幅外摆线
在平面上，当一个动圆(发生圆)沿着一个固定圆(基圆)的外侧，作内切或外切的纯滚动时，位于外切的动圆之外，或位于内切的动圆之内，并与动圆固连的M点的轨迹线，称长幅外摆线。见图4-44。

短幅外摆线
在平面上，一个动圆(发生圆)沿着一个固定圆(基圆)的外侧，作外切或内切的纯滚动时，位于作外切动圆之内，内切动圆之外，并与动圆相固连的点M的轨迹线，称为短幅外摆线。见图4-45。

广义外摆线
在平面上，一个动圆(发生圆)沿着一个固定圆(基圆)的外侧，作外切或内切的纯滚动，这时固定在动圆的径向线oM上的点的轨迹线称广义外摆线。令动圆半径为r，动圆相对基圆转角为θ，则广义外摆线方程式为：
式中，h=oM 。

广义摆线
见“摆线”。

内摆线
见“广义内摆线”。

广义内摆线
在平面上，一个动圆(发生圆)沿着一个固定圆(基圆)的内侧作滚动时，固定在动圆上的点M，所形成的轨迹线，称广义内摆线。
令oM=h，动圆半径为r，则h=r时M点的轨迹线称内摆线；h＞r时M点的轨迹线称长幅内摆线；h＜r时M点的轨迹线称短幅内摆线(图4-46)。广义内摆线方程式为：
式中，θ表示动圆相对固定圆转过的有向角。

长幅内摆线
见“广义内摆线”。

短幅内摆线
见“广义内摆线”。

点的螺旋运动
动点沿一旋转面的母线以速移动，同时该母线又绕其轴线以角速度转动，这时动点的运动称点的螺旋运动(图4-47)。动点的轨迹线称该旋转面的螺旋线。若、都为常数，则动点的轨迹线称等导程螺旋线，否则，称变导程螺旋线。螺旋线分左旋和右旋两种，可用左、右手定则判断。右旋螺旋线的螺旋参数为正，左旋螺旋线的螺旋参数为负。

圆柱螺旋线(螺旋线)
动点在圆柱面上作螺旋运动形成的轨迹线称圆柱螺旋线(图4-48)，简称螺旋线。它是圆锥螺旋线的特例。分等导程和变导程两种，亦有左、右旋之分。

圆锥螺旋线
动点在圆锥面上作螺旋运动形成的螺旋线(图4-49)。可分为等导程和变导程两种，亦有左、右旋之分。

变导程螺旋线
在旋转面上，一动点P绕旋转面轴线以角速度 匀速转动，同时又沿旋转面的母线变速移动，则P点在旋转面上的轨迹线称为变导程螺旋线。

柱面等导程螺旋线
圆柱面上一动点P，按给定的角速度绕圆柱面的轴线匀速转动，同时又以速度沿圆柱面母线方向匀速移动，则动点P在圆柱面上的轨迹线称为柱面等导程螺旋线。它是锥面等导程螺旋线的特例。是圆柱螺旋线的一种(图4-50)。

柱面变导程螺旋线
圆柱面上一动点P，按照给定的角速度绕其轴线匀速转动，同时又沿圆柱面母线作变速移动，这时动点P的运动轨迹线，称为柱面变导程螺旋线。它是锥面变导程螺旋线的特例。是圆柱螺旋线的一种。

锥面等导程螺旋线
圆锥面上一动点P，按给定的角速度绕圆锥面轴线匀速转动，同时又以匀速v沿圆锥母线方向移动，这时P点在圆锥面上的轨迹线称为等导程螺旋线(图4-51)。

螺旋角
螺旋线上某点M的切线与过该点旋转面母线之间所夹的锐角β。见图4-52。
螺旋线上某点M处的螺旋角与该点处的导程角γ互为余角，即γ+β＝90°。

螺旋参数
单位弧度的螺旋导程。亦即动点作螺旋运动时，当绕转一个弧度时，沿移动方向(v方向)走过的距离。圆柱蜗杆的螺旋参数计算式为


线的螺旋运动
与旋转面不相贴合的一条动线，沿着旋转面的一条母线方向移动(速度为)，同时旋转面母线又绕其轴线以角速度转动，这时动线的运动称线的螺旋运动，动线的轨迹面则称该旋转面的螺旋面。分左、右两种螺旋面，又有等导程螺旋面和变导程螺旋面之分。

圆柱螺旋面(螺旋面)
与圆柱面不相贴合的一条动线，在圆柱面上作螺旋运动，形成的轨迹面(图4-53)。简称螺旋面。分等导程和变导程两种，亦有左、右旋之分。

圆锥螺旋面
与圆锥面不相贴合的一条动线，在圆锥面上作螺旋运动形成的轨迹面。分等导程和变导程两种，亦有左、右旋之分。

过渡曲线
齿轮齿廓曲线分三段，如图4-54所示段是刀具刃廓的包络线，称过渡曲线，为轮齿根线。过渡曲线是由展成法加工齿轮时，刀具刃顶圆弧或刃顶棱角形成的，用齿条刀具加工渐开线齿轮时，其过渡曲线一般为长幅渐开线。当没有根切现象时，齿廓三段曲线光滑连接。

渐屈线
一条给定的曲线Γ，其渐屈线是指该曲线上各点处曲率中心的集合线，如渐开线的渐屈线是基圆线，图4-55所示。

旋轮曲线
设齿轮1的齿廓上有1固定点M，当齿轮1的瞬心线在齿轮2的瞬心线上纯滚动时，M点的轨迹线就是与齿廓1相啮合的齿廓2，这样形成的齿廓曲线称旋轮曲线，旋轮曲线的法线总通过节点P。

等距曲面
在曲面∑上的任意点P，在曲面∑_h上都有对应点P_h，且对应点的连线=h沿两曲面公法线方向的长度不变，则定义∑、∑_h为等距曲面。

等距共轭曲面
共轭曲面∑⁽¹⁾、∑⁽²⁾的等距曲面分别为∑⁽¹⁾_h、∑⁽²⁾_h这时若等距参数h⁽¹⁾=h⁽²⁾，则∑⁽¹⁾_h和∑⁽²⁾_h亦是共轭曲面，称∑⁽¹⁾_h、∑⁽²⁾_h为∑⁽¹⁾、∑⁽²⁾的等距共轭曲面。当h变化时，可组成无数多个等距共轭曲面。

环面
设任意给定一段曲线Γ，令一圆c的中心o沿该曲线运动，若过圆心垂直于圆平面的法矢总沿曲线Γ的切线方向，则圆c的轨迹曲面F称为以Γ曲线为基线的环面。c圆称环面的母圆(发生圆)，Γ线称环面的基线。

可展曲面
若直纹曲面，沿着每一条母线只有一个切面，这种直纹曲面称可展曲面。如圆柱面、锥面、切线曲面等都是可展曲面。

母面
用于展成齿轮齿面的产形面(刀具刃面)称母面。母面的几何特性不但决定了齿面的几何形状，而且将明显影响齿轮副的啮合特性和承载能力大小。

圆环面
一个动圆(称母圆)围绕位于其圆周之外的同一平面上的直线(称轴线)，作旋转运动时，该动圆在固定空间内(静坐标系内)的轨迹曲面称圆环面(图4-56)。
圆环面被其轴平面所截得的截线圆是母圆。母圆圆心的轨迹线是一个圆，称中性圆。包含中心圆，垂直旋转轴线a-a的平面称中间平面。圆环面被中间平面所截得的两个圆中，其小者称圆环面的内圆。

直纹曲面
由一族连续变化的直线形成的曲面。简称直纹面，其中每一条直线都称直纹面的曲纹(图4-57a、b)。

中界曲面
用间接展成法加工齿轮齿面时，刀具刃面称中界曲面。亦即若和齿面∑⁽¹⁾、∑⁽²⁾相固连的动坐标σ⁽¹⁾、σ⁽²⁾的运动条件已知，可求得一个和动坐标σ⁽³⁾相固连的齿面∑⁽³⁾。当∑⁽³⁾与∑⁽¹⁾、∑⁽³⁾与∑⁽²⁾，按给定条件运动时，可由∑⁽³⁾包络出∑⁽¹⁾、∑⁽²⁾，这时若齿面∑⁽¹⁾、∑⁽²⁾在给定条件下，在一定范围内可共轭啮合，则和σ⁽³⁾固连的曲面∑⁽³⁾称中界曲面。

平面矢方程
用矢量表示的平面方程式称平面矢方程。设π平面位在σ坐标系中，平面上有一定点P0，其径矢为₀，平面上任意点P的径矢为，若平面的法矢为(图4-58)，则平面π的矢方程可写成：·（-₀）=0

切线曲面
一条曲线Γ 的切线所形成的曲面，称切线曲面。设曲线Γ的参数矢方程为Γ：=(t)，则Γ的切线曲面方程为=(t₀)+u(t)，式中u为切线参数。见图4-59。

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