齿轮啮合预备知识·坐标变换

直角坐标系(坐标系)
在三维空间中，任选一点o，过o点做三条相互垂直的直线ox、oy、oz（这三条直线正方向上的单位矢量分别用（、、表示）（图4-1），则构成直角坐标系，通称坐标系。点o称坐标系原点；ox、oy、oz为坐标轴；（、、）为底矢。直角坐标系通常记作σ＝[o；x，y，z]或记作σ=[o；、、]。坐标变换 - 啮合原理及预备知识 - 齿轮知识 - 正基元
一般直角坐标系分为右手系和左手系两种类型。右手坐标系的特征是：逆时针方向旋转，当平面xoy绕oz轴逆时针方向转90°时，ox轴就代换了oy轴，其余依此类推。在左手坐标系中，可以发生同样情况，只不过是沿顺时针方向旋转而已。

基础坐标系
和固定空间相固连的直角坐标系，称基础坐标系。亦称静坐标系。记作σ=[o；，， ]，或σ=[o；，，]。

动坐标系
和运动物体固连在一起的坐标系，坐标系随物体的运动而运动，其位置是时间t的函数，这样的坐标系称动坐标系。和运动物体i固连的坐标系记作σ⁽ⁱ⁾=[o_i；x_i，y_i，z_i]或记作σ⁽ⁱ⁾=[o_i；_i，_i，_i]。

坐标变换
空间一点P的位置原用坐标系σ⁽ⁱ⁾的参数表示，在齿轮啮合原理中，往往需要用与坐标系σ⁽ⁱ⁾有关的另一坐标系σ^(j)内的参数表示，这种转换关系称坐标变换。这时称σ⁽ⁱ⁾为旧坐标系，σ^(j)为新坐标系。

系数矩阵
空间P点在坐标系σ⁽ⁱ⁾中的径矢为⁽ⁱ⁾，改为用坐标系σ^(j)内的径矢^(j)表示，这种变换关系为：^(j)=[A]⁽ⁱ⁾ (⁽ⁱ⁾=[A]^{-1^(j)}) 。称[A]为系数矩阵。σ⁽ⁱ⁾为旧坐标系，σ^(j)为新坐标系，若旧坐标系原点o_i，在新坐标系中的位置为o_i（a，b，c），这时系数矩阵[A]可写成：

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当o_i，o_j两原点重合时a＝b＝c＝o，变成了三阶系数矩阵（虚线框内形式）。矢量变换、速度变换、底矢变换、法矢变换等都可用三阶系数矩阵；四阶系数矩阵，仅用于新旧坐标系原点不相重合的情况。

三阶基本系数矩阵
新旧坐标系原点重合，且相对绕一坐标轴转过角度φ时，两坐标系之间变换关系中的系数矩阵称基本系数矩阵。这种情况仅用于三阶系数矩阵，分下列几种情况：
图4-2a所示o_j、o_i重合，x_j、x_i重合，绕x轴转过φ角时：由σ⁽ⁱ⁾→σ^(j)，由σ^(j)→σ⁽ⁱ⁾的系数矩阵分别为[A]^x_ji和[A]^x_ij

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图4-2b所示o_j、o_i重合，y_i、y_j重合，绕y轴转过φ角时，由σ⁽ⁱ⁾→σ^(j)，σ^(j)→σ⁽ⁱ⁾的系数矩阵分别为[A]^y_ji和[A]^y_ij

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图4-2c所示o_j、o_i重合，z_j、z_i重合，绕z轴转过φ角时，由σ⁽ⁱ⁾→σ^(j)，σ^(j)→σ⁽ⁱ⁾的系数矩阵分别为[A]^z_ji和[A]^z_ij

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四阶基本系数矩阵
新、旧坐标系，原点不重合，且绕一坐标轴线相对转动φ角时，两坐标系变换关系中的系数矩阵，称基本系数矩阵。旧坐标系原点在新坐标系中的位置见图4-3所示。有下列情况：
图4-3a所示，x_j、x_i平行且绕x_i转过角φ，这时σ⁽ⁱ⁾→σ^(j)，σ^(j)→σ⁽ⁱ⁾的系数矩阵为[A]^x_ji和[A]^x_ij

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图4-3b所示，y_j、y_i平行且绕y_i转过角φ，这时σ⁽ⁱ⁾→σ^(j)，σ^(j)→σ⁽ⁱ⁾的系数矩阵为[A]^y_ji和[A]^y_ij

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图4-3c所示，z_j、z_i平行，且绕z轴转过角φ，σ⁽ⁱ⁾→σ^(j)，σ^(j)→σ⁽ⁱ⁾的系数矩阵为[A]^z_ji和[A]^z_ij

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多次坐标变换
空间一点P由坐标系σ⁽ⁱ⁾经过坐标系σ^(j)、σ^(k)…变换到坐标系σ⁽ⁿ⁾，这时⁽ⁱ⁾、⁽ⁿ⁾的关系式可写成⁽ⁱ⁾_p=[A]_nm…[A]_kj[A]_ji⁽ⁱ⁾_p，式中[A]分别为坐标变换系数矩阵，若各系数矩阵之积用系数矩阵[A]_ni表示，则⁽ⁱ⁾、⁽ⁿ⁾之间坐标变换式可写成

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